可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, 43-44)：



0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}

1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}

2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}





〔如果从某个属于１这个类的分子拿去一个元素的话，那么该分子便会变成0的分子。

换言之，１就是由所有只有一个元素的类组成的类。〕



现在一般采用主要由 von Neumann 引入的方法来界定自然数。例如：



0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},

2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}



[Λ为空集]



一般来说，如果已经构作集n, 那么它的后继元(successor) n* 就界定为n∪{n}。



在一般的集合论公理系统中（如ZFC）中有一条公理保证这个构作过程能不断地延续下去，并且所有由这构作方法得到的集合能构成一个集合，这条公理称为无穷公理(Axiom of Infinity)(当然我们假定了其他一些公理（如并集公理）已经建立。



〔ｐｓ：无穷公理是一些所谓非逻辑的公理。
正是这些公理使得以Russell 为代表的逻辑主义学派的某些主张在最严格的意义下不能实现。〕



便可应用以下的定理来定义关于自然数的加法。



定理：命"|N"表示由所有自然数构成的集合，那么可以唯一地定义映射A：|Nｘ|N→|N，使得它满足以下的条件：

(1)对于|N中任意的元素x，我们有A(x,0) = x ；

(2)对于|N中任意的元素x和y，我们有A(x,y*) = A(x,y)*。



映射A就是用来定义加法的映射，如下：

(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。



现在，可证明"1+1 = 2" 如下：

1+1

= 1+0* (因为 1:= 0*)

= (1+0)* (根据条件(2))

= 1* (根据条件(1))

= 2 (因为 2:= 1*)



〔注：严格来说我们要援用递归定理(Recursion Theorem)来保证以上的构作方法是妥当的，在此不赘。]



1+ 1= 2"可以说是人类引入自然数及有关的运算后"自然"得到的结论。
但从十九世纪起数学家开始为建基于实数系统的分析学建立严密的逻辑基础后，人们才真正审视关于自然数的基础问题。

相信这方面最"经典"的证明应要算是出现在由Russell和Whitehead合着的"Principia Mathematica"中的那个。

可以这样证明"1+1 = 2"：

　首先，可以推知：

αε１<=> (Σx)(α={x})

βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))

ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))

所以对于任意的集合γ，有

　γε1+1

<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))

<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))

<=> γε2


根据集合论的外延公理(Axiom of Extension)，得到1+1 = 2。] 1+1=2??

【1+1=2登上科学界‘最伟大公式’之一。】

"为何1+1=2？"这个看似多余的问题。首先，大家要知道在集合论的脉络中讨论的对象是各式各样的集合（或类 (class)，

它们和集合的分别在此不赘），故此经常碰到的自然数在这里也是以集合（或类）来定义。

可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, 43-44)：



0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}

1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}

2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}





〔如果从某个属于１这个类的分子拿去一个元素的话，那么该分子便会变成0的分子。

换言之，１就是由所有只有一个元素的类组成的类。〕



现在一般采用主要由 von Neumann 引入的方法来界定自然数。

ｅｘ：


0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},

2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}


可以这样证明"1+1 = 2"：

首先，可以推知：

αε１<=> (Σx)(α={x})

βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))

ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))

所以对于任意的集合γ，有

　γε1+1

<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))

<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))

<=> γε2

根据集合论的外延公理(Axiom of Extension)，得到1+1 = 2。







我累了......

看的我头大了～咱没有那么高的水平～佩服～

我相信学测不会考它........
CC

看来~我还是知道结果就好了...............

看起来不像是统测会；烤；到的东西

所以就不用去想了

感觉像是大学的才会去搞这套0.0

计算机打一打就好了...管他怎来了

佩服楼主......

本人没什么文化,看不懂

我只感觉你打的都是表情符号...

原来1+1=2也可以那么深奥
我晕了......
但是想到我准备上大学 要上微积分 更晕了

下面是引用小佑子于2008-08-29 19:19发表的 :
原来1+1=2也可以那么深奥
我晕了......
但是想到我准备上大学 要上微积分 更晕了

微积分还好拉

只要是不是数学系的

通常都只是教基本的而已

当然工科也会难一点

下面是引用小佑子于2008-08-29 19:19发表的 :
原来1+1=2也可以那么深奥
我晕了......
但是想到我准备上大学 要上微积分 更晕了

哈哈哈~ 感觉到痛苦了吗？~ 感觉到无助了吗？

你有看到数字就头昏，

看微积分那种毛毛虫符号就会过敏，

什么函数都会令你想要再去杀高斯一次吗？

再看到楼主那1+1=2的证明题以后~ 大家是不是对数学更加害怕了。
没关系~ 有个科系是数学恐惧症最好的救星~ ~~~~
那就是法律系~ 没错~ 就是这帖~ 包你快乐的不得了~
啊哈~ 什么微积分~ 什么函数~ 没关系~ 全部都可以给他退化~ 退化到
1+1=2 都没问题啦

普通人知道1+1=2就可以了，呵呵。
知道后面的肯定是精英！